基本的操作：

1. & 按位与 如果两个相应的二进制位都为1，则该位的结果值为1，否则为0
2. | 按位或 两个相应的二进制位中只要有一个为1，该位的结果值为1
3. ^ 按位异或 若参加运算的两个二进制位值相同则为0，否则为1
4. ~ 取反 ~是一元运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将0变1，将1变0
5. << 左移 用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补0
6. >> 右移 将一个数的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃，对于无符号数，高位补0

应用举例

(1) 判断int型变量a是奇数还是偶数
a&1 = 0 偶数 a&1 = 1 奇数

(2) 取int型变量a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))，即a>>k&1

(3) 将int型变量a的第k位清0，即a=a&~(1<<k)

(4) 将int型变量a的第k位置1，即a=a|(1<<k)

(5) int型变量循环左移k次，即a=a<<k|a>>16-k (设sizeof(int)=16)

(6) int型变量a循环右移k次，即a=a>>k|a<<16-k (设sizeof(int)=16)

(7)整数的平均值
对于两个整数x,y，如果用 (x+y)/2 求平均值，会产生溢出，因为 x+y 可能会大于INT_MAX，但是我们知道它们的平均值是肯定不会溢出的，我们用如下算法：

int average(int x, int y)   //返回X,Y 的平均值
{   
     return (x&y)+((x^y)>>1);
}

(8)判断一个整数是不是2的幂,对于一个数 x >= 0，判断他是不是2的幂

boolean power2(int x)
{
    return ((x&(x-1))==0)&&(x!=0)；
}

(9)不用temp交换两个整数

void swap(int x , int y)
{
    x ^= y;
    y ^= x;
    x ^= y;
}

(10)计算绝对值

int abs( int x )
{
int y ;
y = x >> 31 ;
return (x^y)-y ;        //or: (x+y)^y
}

(11)取模运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下) a % (2^n) 等价于 a & (2^n - 1)

(12)乘法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

     a * (2^n) 等价于 a<< n

(13)除法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

     a / (2^n) 等价于 a>> n
    例: 12/8 == 12>>3

Key Points

n&(n-1)

n&(n-1) 可以去除二进制最后一个1， 用法：包括判断是否2的次幂，求二进制表示中1的个数

lowbit

lowbit运算：获取一个数的二进制的最后一位1：lowbit(x) = x & -x。

如，12的二进制表示是1100，则对12做lowbit运算，得到100（二进制），转为十进制即为4

lowbit的最简单的应用：统计x的二进制表示中，1的个数。具体的实现方式是：每次对x做lowbit运算，并将运算结果从x中减去。循环做下去，直到x被减为0，一共减了多少次，x中就有多少个1。

状态压缩

见链接

里面可能会用到枚举子集等。

位运算实现加减乘除

加法

int add(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }

    int add_xor = a^b;
    int add_carry = (a & b) << 1;

    return add(add_xor, add_carry);
}

减法

减法为补码相加， 基于加法先实现

int sub(int a, int b) {
    return add(a, add(~b, 1));
}

乘法

转换成加法，暴力累加。

def multiply(a: int, b: int) -> int:
    is_negative = (a < 0) != (b < 0)
    a, b = abs(a), abs(b)

    result = 0
    while b:
        if b & 1:
            result = add(result, a)
        a <<= 1
        b >>= 1
    return negate(result) if is_negative else result

除法

暴力减